Решение задачи Коши усовершенствованным методом Эйлера с автоматическим выбором шага - C (СИ)

Узнай цену своей работы

Формулировка задачи:

Есть задача: Решить задачу Коши методом Эйлера второго порядка (усовершенствованный метод Эйлера), в программе должен быть автоматический подбор шага. Вот само задание: xy' + y = y*y*ln(x) начальное условие: 0.5; а = 1; b = 2; точное решение: 1 / (1 + х + ln(x)) формулы метода: yk+1 = yk + h*f(xk + h/2, yk+1 + k1); k1 = h/2 * f(xk, yp) Алгоритм решения с автоматическим выбором шага: 1. По значению yk в точке xk по формуле метода решение y1 в точке xk + h с шагом h; 2. По значению yk в точке xk по формуле метода решение yпром в точке xk + h/2 с шагом h/2; 3. по полученному решению yпром вычисляем по тем же формулам решение у2 в точке xk + h с шагом h/2; 4. Проверяем условие неравенства g < eps, где g = |y1-y2| при |y1| <= 1 и g = |y1-y2|/|y1| при |y1| > 1; 5. Если неравенство не выполняется, делим шаг пополам и проводим пересчет с с пункта 1, начинаю с точки xk 6. если получили нужную точность, тоесть неравенство выполняется, то за решение в точке xk+h берем величину yk+1 = y2 - (y1 - y2)/(2s - 1), где s - порядок метода (то есть у меня s = 2); 7. выбираем величину нового шага по формулам: alpha = 0.8 * pow(eps/g, 1/(s+1)), hновы = alpha * hстар 8. преходим к следующему шагу начиная с пункта 1 вот мой код, пробовал в него подставлять обычный метод Эйлера, метод Хойне и метод Рунге-Кутта 4-го порядка, постоянно погрешность до 3%. что делать уже не знаю( если можете помогите. 
#include "stdafx.h"
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
 
double ft(double x, double y)
{
    return 1 / (1 + x + log(x));
}
 
double f (double x, double y)
{
    return (y*y * log(x) - y) / x;
}
 
double formula(double x, double y, double h)
{
    double k = h/2 * f(x, y);
    return y + h * f(x + h/2, y + k);
}

void main()
{
    double a = 1.;
    double b = 2.;
    double yk = 0.5;
    double x = a;
    double eps = 0.001;
    double MinStep = (b - a) / 1000000;
    double MaxStep = (b - a) / 4;
    double Step = (b - a) / 1000;
    double g = 0;
    double alpha = 0;
    double y1, y2, yp;
    int s = 2;
    printf("   x  |   y   | f(x) |   D   |  D/f  |   h   |   g   |   a   \n");
    do
    {
        y1 = formula(x, yk, Step);
        yp = formula(x, yk, Step/2);
        y2 = formula(x, yp, Step/2);
        if (fabs(y1) <= 1) g = fabs(y1-y2);
        else{ g = fabs(y1 - y2) / fabs(y1); }
        if (g < eps)
        {
            yk = y2 - (y1 - y2)/(pow(2., s) - 1);
            double D = fabs(ft(x, yk) - yk);
            printf("%5.3lf | %5.3lf | %5.3lf | %5.3lf | %5.3lf | %7.5lf | %5.3lf | %5.3lf\n", 
                x, yk, ft(x, yk), D, D * 100 / ft(x, yk), Step, g, alpha );
 
            alpha = 0.8 * pow(eps / g, 1. / (s+1));
            Step *= alpha;
 
            if (Step < MinStep) { Step = MinStep;   }
            else
            {
                if(Step > MaxStep) Step = MaxStep;
            }
 
            x += Step;
        }
        else
        { 
            Step *= 0.5; 
            if (Step < MinStep) { Step = MinStep;   }
        }
        
    } while (x <= b+Step);
    system("pause");
}

Решение задачи: «Решение задачи Коши усовершенствованным методом Эйлера с автоматическим выбором шага»

textual
Листинг программы 
#include "stdafx.h"
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
 
double ft(double x, double y)
{
    return 1 / (1 + x + log(x));
}
 
double f (double x, double y)
{
    return (y*y * log(x) - y) / x;
}
 
double formula(double x, double y, double h)
{
    double k = h/2 * f(x, y);
    return y + h * f(x + h/2, y + k);
}
 
 
void main()
{
    double a = 1.;
    double b = 2.;
    double yk = ft(a);
    double x = a;
    double eps = 0.001;
    double MinStep = (b - a) / 1000000;
    double MaxStep = (b - a) / 4;
    double Step = (b - a) / 1000;
    double g = 0;
    double alpha = 0;
    double y1, y2, yp;
    int s = 2;
    printf("   x  |   y   | f(x) |   D   |  D/f  |   h   |   g   |   a   \n");
    do
    {
        y1 = formula(x, yk, Step);
        yp = formula(x, yk, Step/2);
        y2 = formula(x, yp, Step/2);
        if (fabs(y1) <= 1) g = fabs(y1-y2);
        else{ g = fabs(y1 - y2) / fabs(y1); }
        if (g < eps)
        {
            yk = y2 - (y1 - y2)/(pow(2., s) - 1);
            double D = fabs(ft(x, yk) - yk);
            printf("%5.3lf | %5.3lf | %5.3lf | %5.3lf | %5.3lf | %7.5lf | %5.3lf | %5.3lf\n", 
                x, yk, ft(x, yk), D, D * 100 / ft(x, yk), Step, g, alpha );
 
            alpha = 0.8 * pow(eps / g, 1. / (s+1));
 
            x += Step;
            Step *= alpha;
 
            if (Step < MinStep) { Step = MinStep;   }
            else
            {
                if(Step > MaxStep) Step = MaxStep;
            }
 
        }
        else
        { 
            Step *= 0.5; 
            if (Step < MinStep) { Step = MinStep;   }
        }
        
    } while (x <= b+Step);
    system("pause");
}

Объяснение кода листинга программы

  1. Включаемые заголовочные файлы:
    • stdafx.h
    • stdio.h
    • conio.h
    • math.h
    • stdlib.h
  2. Функция ft(double x, double y) возвращает значение функции 1 / (1 + x + log(x))
  3. Функция f(double x, double y) возвращает значение функции (y*y * log(x) - y) / x
  4. Функция formula(double x, double y, double h) использует метод Эйлера для решения задачи Коши. Возвращаемое значение функции является приближенным значением корня.
  5. В функции main() определены следующие переменные:
    • a (начальное приближение)
    • b (конечное приближение)
    • yk (начальное значение функции)
    • x (текущее значение переменной)
    • eps (требуемая точность)
    • MinStep (минимальный шаг)
    • MaxStep (максимальный шаг)
    • Step (текущий шаг)
    • g (погрешность на предыдущем шаге)
    • alpha (коэффициент уменьшения шага)
    • y1, y2, yp (временные переменные для хранения промежуточных значений)
    • s (порядок метода Эйлера)
  6. В цикле do-while происходит итеративное решение задачи Коши методом Эйлера. На каждой итерации выполняются следующие действия:
    • Вычисляются значения y1, yp и y2 с помощью функции formula()
    • Вычисляется погрешность g на предыдущем шаге
    • Если погрешность g меньше требуемой точности eps, выполняются следующие действия:
      • Обновляется значение yk
      • Вычисляется значение функции ft(x, yk)
      • Вычисляется значение функции f(x, yk)
      • Вычисляется значение D (погрешность на предыдущем шаге)
      • Вычисляется значение h (новый шаг)
      • Обновляется значение g
      • Обновляется значение alpha
      • Увеличивается значение x на текущий шаг Step
      • Уменьшается значение Step на alpha
      • Если Step меньше MinStep, устанавливается Step равным MinStep
      • Если Step больше MaxStep, устанавливается Step равным MaxStep
    • Если погрешность g больше или равна требуемой точности eps, выполняются следующие действия:
      • Уменьшается значение Step в два раза
  7. В конце программы вызывается функция system(pause), чтобы приостановить выполнение программы до нажатия клавиши.

ИИ поможет Вам:

  • решить любую задачу по программированию
  • объяснить код
  • расставить комментарии в коде
  • и т.д
Попробуйте бесплатно

Оцени полезность:

15   голосов , оценка 4 из 5
Похожие ответы