Физика. Иродов Е.А. Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла.

В данной главе представлены задачи по физике из раздела Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла задачника Иродова Е.А.

3.288 Провод, имеющий форму параболы y = ax

3.289 Прямоугольный контур со скользящей перемычкой длины l находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости контура (рис. 3.79). Индукция поля равна В. Перемычка имеет сопротивление R, стороны АВ и CD —- сопротивления R

3.290 Металлический диск радиуса a = 25 см вращают с постоянной угловой скоростью ω = 130 рад/с вокруг его оси. Найти разность потенциалов между центром и ободом диска, если:

3.293 Длинный прямой проводник с током I и П-образный проводник с подвижной перемычкой расположены в одной плоскости, как показано на рис. 3.81. Перемычку, длина которой l и сопротивление R, перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти ток, индуцируемый в контуре, как функцию расстояния r между перемычкой и прямым проводником. Сопротивление П-образного проводника и самоиндукция контура пренебрежимо малы.

3.294 Квадратная рамка со стороной a и длинный прямой провод с током I находятся в одной плоскости, как показано на рис. 3.82. Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти э. д. с. индукции в рамке как функцию расстояния x.

3.296 По двум гладким медным шинам, установленным под углом α к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массы m (рис. 3.84). Вверху шины замкнуты на сопротивление R. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией B, перпендикулярном к плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивления шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти установившуюся скорость перемычки.

3.297 Система отличается от рассмотренной в предыдущей задаче (см. рис. 3.84) лишь тем, что вместо сопротивления R к концам шин подключен конденсатор емкости C. Найти ускорение перемычки.

3.299 Между полюсами электромагнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки S = 3,0 мм

3.300 Квадратная проволочная рамка со стороной a и прямой проводник с постоянным током I лежат в одной плоскости (рис. 3.86). Индуктивность и сопротивление рамки равны L и R. Рамку повернули на 180° вокруг оси 00', отстоящей от проводника с током на расстояние b. Найти количество электричества, протекшее в рамке.

3.301 Имеется длинный прямой проводник с током I

3.302 Проводник АВ массы m скользит без трения по двум длинным проводящим рельсам, расположенным на расстоянии l друг от друга (рис. 3.88). На левом конце рельсы замкнуты сопротивлением R. Система находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости контура. В момент t = 0 стержню АВ сообщили вправо начальную скорость v

3.303 По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка АВ (рис. 3.89). Последняя имеет длину l, массу m и сопротивление R. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией B, направленном вертикально. В момент t = 0 на перемычку начали действовать постоянной горизонтальной силой F, и перемычка начала перемещаться поступательно вправо. Найти зависимость от времени t скорости перемычки. Индуктивность контура и сопротивление П-образного проводника пренебрежимо малы.

3.304 На рис. 3.90 показаны плоские контуры из тонких проводов, находящиеся в однородном магнитном поле, которое направлено за плоскость рисунка. Индукцию поля начали уменьшать. Найти направление индукционных токов в этих контурах.

3.305 Плоский контур (рис. 3.91), имеющий вид двух квадратов со сторонами a = 20 см и b = 10 см, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к его плоскости. Индукция поля меняется во времени по закону B = B

3.307 П-образный проводник находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости проводника и изменяющемся во времени со скоростью В = 0,10 Т/с. Вдоль параллельных сторон этого проводника перемещают без начальной скорости проводник-перемычку с ускорением w = 10 см/с

3.308 В длинном прямом соленоиде с радиусом сечения a и числом витков на единицу длины n изменяют ток с постоянной скоростью I А/с. Найти модуль вектора напряженности вихревого электрического поля как функцию расстояния r от оси соленоида. Изобразить примерный график этой зависимости.

3.309 На длинный прямой соленоид, имеющий диаметр сечения d = 5 см и содержащий n = 20 витков на один сантиметр длины, плотно надет круговой виток из медного провода сечением S = 1,0 мм

3.310 На длинный соленоид с радиусом сечения a плотно надето тонкое проволочное кольцо в изоляции, причем одна половина кольца имеет сопротивление в η раз больше, чем другая. Индукция магнитного поля соленоида меняется во времени по закону B = bt, где b — постоянная. Найти модуль вектора напряженности электростатического поля в кольце.

3.311 Непроводящее тонкое кольцо массы m, имеющее заряд q, может свободно вращаться вокруг своей оси. В начальный момент кольцо покоилось и магнитное поле отсутствовало. Затем включили практически однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости кольца, которое начало нарастать во времени по некоторому закону B (t). Найти угловую скорость ω кольца в зависимости от индукции В (t).

3.313 Магнитный поток через неподвижный контур с сопротивлением R изменяется в течение времени τ по закону Ф = at (τ-t). Найти количество тепла, выделенное в контуре за это время. Индуктивностью контура пренебречь.

3.317 Катушку индуктивности L = 300 мГ и сопротивления R = 140 мОм подключили к источнику постоянного напряжения. Через сколько времени ток через катушку достигнет η = 50% установившегося значения?

3.318 Вычислить постоянную времени τ прямого соленоида длины l = 1,0 м, имеющего однослойную обмотку из медного провода массы m = 1,0 кг. Предполагается, что диаметр сечения соленоида значительно меньше его длины.

3.319 Найти индуктивность единицы длины кабеля, представляющего собой два тонкостенных коаксиальных металлических цилиндра, если радиус внешнего цилиндра в η = 3,6 раза больше, чем радиус внутреннего. Магнитную проницаемость среды между цилиндрами считать равной единице.

3.320 Определить индуктивность тороидального соленоида из N витков, внутренний радиус которого равен b, а поперечное сечение имеет форму квадрата со стороной a. Пространство внутри соленоида заполнено однородным парамагнетиком с магнитной проницаемостью μ.

3.321 Вычислить индуктивность единицы длины двухпроводной ленточной линии (рис. 3.92), если расстояние между лентами h значительно меньше их ширины b, а именно, b/h = 50.

3.322 Найти индуктивность единицы длины двухпроводной линии, если радиус каждого провода в η раз меньше расстояния между их осями. Полем внутри проводов пренебречь, магнитную проницаемость всюду считать равной единице и η >> 1.

3.323 Сверхпроводящее круглое кольцо радиуса a, имеющее индуктивность L, находится в однородном магнитном поле с индукцией В. Плоскость кольца параллельна вектору В, и ток в кольце равен нулю. Затем плоскость кольца повернули на 90° в положение, перпендикулярное к полю. Найти:

3.324 Ток I

3.326 Замкнутая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянной э. д. с. ξ и дросселя индуктивности L. Активное сопротивление всей цепи равно R. В момент t = 0 индуктивность дросселя скачком уменьшили в η раз. Найти ток в цепи как функцию времени t.

3.327 Найти закон изменения во времени тока, текущего через индуктивность L в схеме (рис. 3.93) после замыкания ключа К в момент t = 0.

3.328 В схеме (рис. 3.94) известны э. д. с. ξ источника, сопротивление R и индуктивности катушек L

3.329 Вычислить взаимную индуктивность длинного прямого провода и прямоугольной рамки со сторонами a и b. Рамка и прямой провод лежат в одной плоскости, причем ближайшая к проводу сторона рамки длиной b параллельна проводу и отстоит от него на расстояние l.

3.330 Определить взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение, ее внутренний радиус a, внешний b. Длина стороны поперечного сечения тора, параллельная проводу, равна h. Число витков катушки N. Система находится в однородном магнетике с проницаемостью μ.

3.331 Два концентрических тонких проводника в форме окружностей с радиусами a и b лежат в одной плоскости. Имея в виду, что a << b, найти:

3.334 Имеются два неподвижных контура с взаимной индуктивностью L

3.335 Катушка индуктивности L = 2,0 мкГ и сопротивления R = 1,0 Ом подключена к источнику постоянной э. д. с. ξ = 3,0 В (рис. 3.96). Параллельно катушке включено сопротивление R

3.341 Тонкое равномерно заряженное кольцо радиуса a = 10 см вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω = 100 рад/с. Найти отношение объемных плотностей энергии магнитного и электрического полей на оси кольца в точке, отстоящей от его центра на расстояние l = a.

3.347 Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением ρ и диэлектрической проницаемостью ε. В момент t = 0 внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти:

3.352 Точечный заряд q движется с нерелятивистской скоростью v = const. Найти плотность тока смещения j

3.356 Показать, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения электрического заряда, т. е. ∇⋅j = -∂ρ/∂t.

3.357 Показать, что уравнения Максвелла ∇xE = -∂B/∂t и ∇⋅B = 0 являются совместимыми, т. е. первое из них не противоречит второму.

3.358 В некоторой области инерциальной системы отсчета имеется вращающееся с угловой скоростью ω магнитное поле, индукция которого равна B. Найти ∇xE в этой области как функцию векторов ω и B.

3.360 Большая пластина из неферромагнитного металла движется с постоянной скоростью v = 90 см/с в однородном магнитном поле с индукцией B = 50 мТ, как показано на рис. 3.98. Найти поверхностную плотность электрических зарядов, возникающих на пластине вследствие ее движения.

3.361 Длинный сплошной алюминиевый цилиндр радиуса a = 5,0 см вращают вокруг его оси в однородном магнитном поле с индукцией B = 10 мТ. Угловая скорость вращения ω = 45 рад/с, причем ω ↑↑ B. Пренебрегая магнитным полем возникающих зарядов, найти их объемную и поверхностную плотности.

3.367 В инерциальной K-системе имеется только однородное электрическое поле с напряженностью Е = 8 кВ/м. Найти модуль и направление

3.370 В инерциальной K-системе отсчета имеются два однородных взаимно перпендикулярных поля: электрическое напряженности E = 40 кВ/м и магнитное с индукцией B = 0,20 мТ. Найти напряженность E' (или индукцию B') поля в той К'-системе отсчета, где наблюдается только одно поле (электрическое или магнитное).

3.371 Точечный заряд q движется равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью, составляющей β-часть скорости света (β = v/c). Найти напряженность Е электрического поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен r и составляет угол ϑ с вектором его скорости.